【题目】因甲向银行借款 100 万元，甲将一批棉花抵押给银行，并办理了抵押登记。后未经银行同意，甲将棉花出卖给乙，但未告知乙该批棉花已经抵押的事实，乙向甲支付了全部价款。银行因甲届期无法清偿债务欲行使抵押权始知甲将棉花出卖于乙的事实，此时，棉花已被乙消耗殆尽。对此，下列表述正确的是？

银行的抵押权自登记之日起取得

乙没有取得对棉花的所有权

银行对棉花的抵押权已经消灭

乙应赔偿银行的损失